Giải bài 4, 5, 6, 7 trang 126, 127 giải tích 12

(eqalign{ & int_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} } dx = int_0^{{pi over 2}} {sqrt {1 – {{sin }^2}t} } .costdt cr & = int_0^{{pi over 2}} {{mathop{rm cost}nolimits} .costdt = int_0^{{pi over 2}} {{{cos }^2}tdt} } cr & = {1 over 2}int_0^{{pi over 2}} {(1 + cos 2t)dt = {1 over 2}} left[ {t + {1 over 2}sin 2t} right]left| {_0^{{pi over 2}}} right. = {pi over 4} cr & int_0^1 {(1 – x)dx = (x – {{{x^2}} over 2})left| {_0^1} right.} = {1 over 2} cr & Rightarrow D = 2({pi over 4} – {1 over 2}) = {pi over 2}-1 cr} )

Bài 4trang 126 SGK Giải tích 12

Tính:

a) (int {(2 – x)sin {rm{x}}dx} )

b) (int {{{{{(x + 1)}^2}} over {sqrt x }}} dx)

c) (int {{{{e^{3x}} + 1} over {{e^x} + 1}}} dx)

d) (int {{1 over {{{(sin x + {mathop{rm cosx}nolimits} )}^2}}}} dx)

e) (int {{1 over {sqrt {1 + x} + sqrt x }}} dx)

g) (int {{1 over {(x + 1)(2 – x)}}} dx)

Giải

a) Đặt (u = 2 x, dv = sinx dx)

Ta có: (du = -dx, v = -cosx)

Do đó:

(eqalign{
& int {(2 – x)sin {rm{x}}dx} = (x – 2)cosx – int {{mathop{rm cosxdx}nolimits} } cr
& = (x – 2)cosx – s{rm{inx}} + C cr} )

b) Điều kiện: (x > 0)

Ta có:

(eqalign{
& int {{{{{(x + 1)}^2}} over {sqrt x }}} dx = int {{{{x^2} + 2x + 1} over {{x^{{1 over 2}}}}}} dx cr
& = int {({x^{{3 over 2}}}} + 2{x^{{1 over 2}}} + {x^{{-1 over 2}}})dx cr
& = {2 over 5}{x^{{5 over 2}}} + {4 over 3}{x^{{3 over 2}}} + 2{x^{{1 over 2}}} + C cr} )

c) Ta có: ({e^{3x}} + 1={({e^x})^3} + 1 = ({e^x} + 1)({e^{2x}}-{e^x} +1))

Do đó:

(eqalign{
& int {{{{e^{3x}} + 1} over {{e^x} + 1}}} dx = int {left( {{e^{2x}}-{rm{ }}{e^x} + {rm{ }}1} right)} dx cr
& = {1 over 2}{e^{2x}} – {e^x} + x + C cr} )

d) Ta có:

(eqalign{
& int {{1 over {{{(sin x + {mathop{rm cosx}nolimits} )}^2}}}} dx = int {{{d(x – {pi over 4})} over {2{{cos }^2}(x – {pi over 4})}}} cr
& = {1 over 2}tan (x – {pi over 4}) + C cr} )

e) Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp, ta có:

(eqalign{
& int {{1 over {sqrt {1 + x} + sqrt x }}} dx = int {(sqrt {1 + x} } – sqrt x )dx cr
& = int {left[ {{{(1 + x)}^{{1 over 2}}} – {x^{{1 over 2}}}} right]} dx = {2 over 3}{(x + 1)^{{3 over 2}}} – {2 over 3}{x^{{3 over 2}}} + C cr} )

d) Ta có:

(eqalign{
& int {{1 over {(x + 1)(2 – x)}}} dx = {1 over 3}int {({1 over {1 + x}}} + {1 over {2 – x}})dx cr
& = {1 over 3}ln |{{1 + x} over {2 – x}}| + C cr} ).

Xem thêm:  Thủ tục mua bán nhà chi tiết, đơn giản và dễ hiểu nhất

Bài 5 trang 127 SGK Giải tích 12

Tính:

a) (int_0^3 {{x over {sqrt {1 + x} }}} dx)

b) (int_1^{64} {{{1 + sqrt x } over {root 3 of x }}} dx)

c) (int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx)

d) (int_0^pi {sqrt {1 + sin 2x} } dx)

Giải

a) Đặt (t = sqrt {1 + x} ), ta được: (x = t^2-1, dx = 2t dt)

Khi (x = 0) thì (t = 1), khi (x = 3) thì (t = 2)

Do đó:

( int_0^3 {{x over {sqrt {1 + x} }}} dx = int_1^2 {{{{t^2} – 1} over t}} .2tdt = 2int_1^2 {({t^2} – 1)dt})

(= 2({{{t^3}} over 3} – t)left| {_1^2} right. = 2({8 over 3} – 2 – {1 over 3} + 1) = {8 over 3} )

b)

Ta có:

(int_1^{64} {{{1 + sqrt x } over {root 3 of x }}} dx = int_1^{64} {{{1 + {x^{{1 over 2}}}} over {{x^{{1 over 3}}}}}} dx = int_1^{64} {({x^{{-1 over 3}}} + {x^{{1 over 6}}})dx})
(=({3 over 2}{x^{{2 over 3}}} + {6 over 7}{x^{{7 over 6}}})left| {_1^{64}} right. = {{1839} over {14}} )

c) Ta có:

( int_0^2 {{x^2}} {e^{3x}}dx = {1 over 3}int_0^2 {{x^2}} d{e^{3x}} = {1 over 3}{x^2}{e^{3x}}left| {_0^2} right.)

(- {2 over 3}int_0^2 {x{e^{3x}}} dx )(= {4 over 3}{e^6} – {2 over 9}(x{e^{3x}})left| {_0^2} right. + {2 over {27}}int_0^2 {{e^{3x}}} d(3x) )
(= {4 over 3}{e^6} – {4 over 9}{e^6} + {2 over {27}}{e^{3x}}left| {_0^2} right. = {2 over {27}}(13{e^6} – 1) )

d)

Ta có:

( sqrt {1 + sin 2x} = sqrt {{{sin }^2}x + {{cos }^2}x + 2sin x{mathop{rm cosx}nolimits} })

(= |{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + {mathop{rm cosx}nolimits} | )(= sqrt 2 |sin (x + {pi over 4})| )

(=left{ matrix{
sqrt 2 sin (x + {pi over 4}),x in left[ {0,{{3pi } over 4}} right] hfill cr
sqrt 2 sin (x + {pi over 4}),X in left[ {{{3pi } over 4},pi } right] hfill cr} right.)

Do đó:

( int_0^pi {sqrt {1 + sin 2x} } dx = sqrt 2 int_0^{{{3pi } over 4}} {sin (x + {pi over 4}} )d(x + {pi over 4}))( – sqrt 2 int_{{{3pi } over 4}}^pi {sin (x + {pi over 4}} )d(x + {pi over 4}) ) (= – sqrt 2 cos (x + {pi over 4})left| {_0^{{{3pi } over 4}}} right. + sqrt 2 (x + {pi over 4})left| {_{{{3pi } over 4}}^pi } right. = 2sqrt 2 )

Bài 6trang 127 SGK Giải tích 12

Tính:

a) (int_0^{{pi over 2}} {cos 2xsi{n^2}} xdx)

b) (int_{ – 1}^1 {|{2^x}} – {2^{ – x}}|dx)

c) (int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} over {{x^2}}}} dx)

d) (int_0^2 {{1 over {{x^2} – 2x – 3}}} dx)

e) (int_0^{{pi over 2}} {{{({mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + {mathop{rm cosx}nolimits} )}^2}dx} )

Xem thêm:  Mẫu bảng phân công công việc 2021

g) (int_0^pi {{{(x + {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}})}^2}} dx)

Giải

a)

Ta có:

( int_0^{{pi over 2}} {cos 2xsi{n^2}} xdx = {1 over 2}int_0^{{pi over 2}} {cos 2x(1 – cos 2x)dx})
(= {1 over 2}int_0^{{pi over 2}} {left[ {cos 2x – {{1 + cos 4x} over 2}} right]} dx)

( = {1 over 4}int_0^{{pi over 2}} {(2cos 2x – cos 4x – 1)dx} )
( = {1 over 4}left[ {sin 2x – {{sin 4x} over 4} – x} right]_0^{{pi over 2}} = – {1 over 4}.{pi over 2} = {{ – pi } over 8} )

b)

Ta có: Xét ({2^x}-{2^{ – x}} 0 x 0).

Ta tách thành tổng của hai tích phân:

(int_{ – 1}^1 {|{2^x}} – {2^{ – x}}|dx = – int_{ – 1}^0 ( {2^x} – {2^{ – x}})dx )(+ int_0^1 ( {2^x} – {2^{ – x}})dx)
(= – ({{{2^x}} over {ln 2}} + {{{2^{ – x}}} over {ln 2}})left| {_{ – 1}^0} right. + ({{{2^x}} over {ln 2}} + {{{2^{ – x}}} over {ln 2}})left| {_0^1} right. )(= {1 over {ln 2}} )

c)

(int_1^2 {{{(x + 1)(x + 2)(x + 3)} over {{x^2}}}} dx = int_1^2 {{{{x^3} + 6{x^2} + 11x + 6} over {{x^2}}}dx} )
(= int_1^2 {(x + 6 + {{11} over x}} + {6 over {{x^2}}})dx)

(= left[ {{{{x^2}} over 2} + 6x + 11ln |x| – {6 over x}} right]left| {_1^2} right. )
( = (2 + 12 + 11ln 2 – 3) – ({1 over 2} + 6 – 6) )

(= {{21} over 2} + 11ln 2 )

d)

(eqalign{
& int_0^2 {{1 over {{x^2} – 2x – 3}}} dx = int_0^2 {{1 over {(x + 1)(x – 3)}}dx = {1 over 4}} int_0^2 {({1 over {x – 3}} – {1 over {x + 1}})dx} cr
& = {1 over 4}left[ {ln |x – 3| – ln |x + 1|} right]left| {_0^2} right. = {1 over 4}left[ {- ln 3 – ln 3} right] cr
& = {-1 over 2} ln 3cr} )

e)

(eqalign{
& int_0^{{pi over 2}} {{{({mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}} + {mathop{rm cosx}nolimits} )}^2}dx} = int_0^{{pi over 2}} {(1 + sin 2x)dx} cr
& = left[ {x – {{cos 2x} over 2}} right]left| {_0^{{pi over 2}}} right. = {pi over 2} + 1 cr} )

g)

(eqalign{
& I = int_0^pi {{{(x + {mathop{rm s}nolimits} {rm{inx)}}}^2}} dxint_0^pi {({x^2}} + 2xsin x + {sin ^2}x)dx cr
& = left[ {{{{x^3}} over 3}} right]left| {_0^pi } right. + 2int_0^pi {xsin xdx + {1 over 2}} int_0^pi {(1 – cos 2x)dx} cr} )

Tính :(J = int_0^pi {xsin xdx} )

Đặt (u = x u = 1) và (v = sinx v = -cos x)

Suy ra:

(J = left[ { – x{mathop{rm cosx}nolimits} } right]left| {_0^pi } right. + int_0^pi {{mathop{rm cosxdx}nolimits} = pi + left[ {{mathop{rm s}nolimits} {rm{inx}}} right]} left| {_0^pi } right. = pi )

Do đó:

Xem thêm:  One Piece 1048 đưa ra gợi ý về cách Luffy sẽ chiến đấu với Akainu?

(eqalign{
& I = {{{pi ^3}} over 3} + 2pi + {1 over 2}left[ {x – {{sin 2x} over 2}} right]left| {_0^{{pi }}} right. cr
& = {{{pi ^3}} over 3} + 2pi + {pi over 2} = {{2{pi ^3} + 15pi } over 6} cr} )

Bài 7 trang 127 Giải tích 12

Xét hình phẳng D giới hạn bởi (y = sqrt {1 – {x^2}} )và (y = 2(1-x))

a) Tính diện tích hình D

b) Quay hình D xung quanh trục (Ox). Tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành.

Giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là:

(eqalign{
& 2sqrt {1 – {x^2}} = 2(1 – x) Leftrightarrow left{ matrix{
1 – x ge 0 hfill cr
1 – {x^2} = {(1 – x)^2} hfill cr} right. cr
& Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1 hfill cr
2{x^2} – 2x = 0 hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
x le 1 hfill cr
left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = 1 hfill cr} right. hfill cr} right. Leftrightarrow left[ matrix{
x = 0 hfill cr
x = 1 hfill cr} right. cr} )

Đồ thị của hàm số (y = sqrt {1 – {x^2}} )là một nửa elip ({x^2} + {{{y^2}} over 4} = 1)với y 0

Từ đồ thị trên ta có, diện tích của D:

(eqalign{
& S = int_0^1 {left[ {2sqrt {1 – {x^2}} – 2(1 – x)} right]} dx cr
& = 2left[ {int_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} dx – int_0^1 {(1 – x)dx} } } right] cr} )

Tính (int_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} } dx):

Đặt (x = sin t) , ta có: (dx = cost dt); (x=0 Rightarrow t= 0); (x=1 Rightarrow t={pi over 2})

Suy ra:

(eqalign{
& int_0^1 {sqrt {1 – {x^2}} } dx = int_0^{{pi over 2}} {sqrt {1 – {{sin }^2}t} } .costdt cr
& = int_0^{{pi over 2}} {{mathop{rm cost}nolimits} .costdt = int_0^{{pi over 2}} {{{cos }^2}tdt} } cr
& = {1 over 2}int_0^{{pi over 2}} {(1 + cos 2t)dt = {1 over 2}} left[ {t + {1 over 2}sin 2t} right]left| {_0^{{pi over 2}}} right. = {pi over 4} cr
& int_0^1 {(1 – x)dx = (x – {{{x^2}} over 2})left| {_0^1} right.} = {1 over 2} cr
& Rightarrow D = 2({pi over 4} – {1 over 2}) = {pi over 2}-1 cr} )

b) Dựa vào hình trêm ta có thể tích cần tìm là:

(eqalign{
& V = 4pi int_0^1 {left[ {(1 – {x^2}) – (1 – {x})^2} right]} dx cr
& = 8pi int_0^1 {(x – {x^2}} )dx = 8pileft( {{{{x^2}} over 2} – {{{x^3}} over 3}} right)left| {_0^1} right. cr
& = 8pi ({1 over 2} – {1 over 3}) = {{4pi } over 3} cr} )

Video liên quan

Back to top button