Giải bài 35, 36, 37 trang 197 sách bài tập toán đại số 10

Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc bằng({pi over 2}) và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ( – {pi over 2}) đến ({pi over 2}). Do đó với(A le {pi over 2}) thì(cos {A over 2} ge cos {pi over 4} = {{sqrt 2 } over 2}) còn với( – {pi over 2} 0)

Bài 35 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Chứng minh rằng các biểu thức sau là những số không phụ thuộc (alpha )

a)(A = 2({sin ^6}alpha + c{rm{o}}{{rm{s}}^6}alpha ) – 3({sin ^4}alpha + c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha ))

b)(A = 4({sin ^4}alpha + c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha ) – c{rm{os4}}alpha )

c)(C = 8(c{rm{o}}{{rm{s}}^8}alpha – {sin ^8}alpha ) – cos 6alpha – 7cos 2alpha )

Gợi ý làm bài

a) (A = 2({sin ^2}alpha + c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha )({sin ^4}alpha + c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha – {sin ^2}alpha co{s^2}alpha ) – 3({sin ^4}alpha + c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha ))

= (- {sin ^4}alpha – {cos ^4}alpha – 2{sin ^2}{cos ^2}alpha )

= (- {({sin ^2}alpha + {cos ^2}alpha )^2} = – 1)

b) (A = 4{rm{[}}{({sin ^2}alpha + c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha )^2} – 2{sin ^2}alpha c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha {rm{]}} – c{rm{os4}}alpha )

= (4left( {1 – {1 over 2}{{sin }^2}2alpha } right) – 1 + 2{sin ^2}2alpha = 3)

c) (C = 8(c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha – {sin ^4}alpha )(c{rm{o}}{{rm{s}}^4}alpha + {sin ^4}alpha ) – cos 6alpha – 7cos 2alpha )

( = 8(c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha – {sin ^2}alpha )(c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha + {sin ^2}alpha ){rm{[}}{(c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha + {sin ^2}alpha )^2} – 2{sin ^2}alpha c{rm{o}}{{rm{s}}^2}alpha {rm{]}} – cos 6alpha – 7cos 2alpha )

( = 8c{rm{os}}2alpha left( {1 – {1 over 2}si{n^2}2alpha } right) – c{rm{os6}}alpha {rm{ – 7cos2}}alpha )

( = c{rm{os}}2alpha – 4cos 2alpha si{n^2}2alpha – c{rm{os(4}}alpha + {rm{2}}alpha ))

( = c{rm{os}}2alpha – 2sin 4alpha sin2alpha – c{rm{os4}}alpha c{rm{os2}}alpha + sin 4alpha sin2alpha )

Xem thêm:  sưu tầm - truyện kể tây tạng: hai con ma chơi

( = c{rm{os}}2alpha – (cos 4alpha cos 2alpha + sin {rm{4}}alpha sin {rm{2}}alpha ))

( = cos 2alpha – c{rm{os2}}alpha {rm{ = 0}})


Bài 36 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Rút gọn các biểu thức

a) ({{tan 2alpha } over {tan 4alpha – tan 2alpha }})

b) (sqrt {1 + sin alpha } – sqrt {1 – sin alpha } ) với (0 < alpha < {pi over 2})

c)({{3 – 4cos 2alpha + c{rm{os4}}alpha } over {3 + 4cos 2alpha + cos 4alpha }})

d)({{sin alpha + sin 3alpha + sin 5alpha } over {cos alpha + cos 3alpha + c{rm{os5}}alpha }})

Gợi ý làm bài

a)

(eqalign{
& {{tan 2alpha } over {tan 4alpha – tan 2alpha }} = {{tan 2alpha } over {{{2tan 2alpha } over {1 – {{tan }^2}alpha }} – tan 2alpha }} cr
& = {{1 – {{tan }^2}2alpha } over {1 + {{tan }^2}2alpha }} = cos 4alpha cr} )

b)

(eqalign{
& sqrt {1 + sin alpha } – sqrt {1 – sin alpha } cr
& = sqrt {{{left( {cos{alpha over 2} + sin{alpha over 2}} right)}^2}} – sqrt {{{left( {cos{alpha over 2} – sin{alpha over 2}} right)}^2}} cr} )

Vì (0 < alpha < {pi over 2}) nên (0 < {alpha over 2} < {pi over 4})

Suy ra (0 < sin {alpha over 2} < cos {alpha over 2})

Vậy (sqrt {1 + sin alpha } – sqrt {1 – sin alpha } = cos{alpha over 2} + sin{alpha over 2} – (cos{alpha over 2} – sin{alpha over 2}))

( = 2sin{alpha over 2})

c) ({{3 – 4cos 2alpha + c{rm{os4}}alpha } over {3 + 4cos 2alpha + cos 4alpha }} = {{3 – 4cos 2alpha + 2c{rm{o}}{{rm{s}}^2}{rm{2}}alpha – 1} over {3 + 4cos 2alpha + 2c{rm{o}}{{rm{s}}^2}{rm{2}}alpha – 1}})

Xem thêm:  Sinh viên mới ra trường cần tìm việc

( = {{2(c{rm{o}}{{rm{s}}^2}{rm{2}}alpha – 2cos 2alpha + 1)} over {2(c{rm{o}}{{rm{s}}^2}{rm{2}}alpha + 2cos 2alpha + 1)}})

( = {{{{(cos 2alpha – 1)}^2}} over {{{(cos 2alpha + 1)}^2}}} = {{{{( – 2{{sin }^2}alpha )}^2}} over {{{(2{{cos }^2}alpha )}^2}}} = {tan ^4}alpha )

d)

(eqalign{
& {{sin alpha + sin 3alpha + sin 5alpha } over {cos alpha + cos 3alpha + c{rm{os5}}alpha }} cr
& = {{(sin 5alpha + sin alpha ) + sin 3alpha } over {(cos 5alpha + cos alpha ) + c{rm{os3}}alpha }} cr} )

( = {{sin 3alpha (2cos 2alpha + 1)} over {c{rm{os3}}alpha (2cos 2alpha + 1)}} = tan 3alpha )


Bài 37 trang 197 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện({rm{cos2A + 2}}sqrt 2 cos B + 2sqrt 2 cos C = 3)ợi ý làm bài

Hướng dẫn

Giả thiết tam giác ABC không tù có nghĩa là các góc của tam giác nhỏ hơn hoặc bằng({pi over 2}) và hiệu của hai góc cũng nằm trong khoảng từ( – {pi over 2}) đến ({pi over 2}). Do đó với(A le {pi over 2}) thì(cos {A over 2} ge cos {pi over 4} = {{sqrt 2 } over 2}) còn với( – {pi over 2} < B – C < {pi over 2}) thì( – {pi over 4} < {{B – C} over 2} < {pi over 4}) do đó(cos {{B – C} over 2} > 0)

Giải chi tiết

Ta có

(cos 2A + 2sqrt 2 (cos B + cos C) = 3)

( Leftrightarrow 1 – 2si{n^2}A + 4sqrt 2 cos {{B + C} over 2}cos {{B – C} over 2} = 3)

( Leftrightarrow 1 – 2si{n^2}A + 4sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} = 3)

( Leftrightarrow 2si{n^2}A – 4sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} + 2 = 0)

Xem thêm:  NEW HOT : Dubai Coin

( Leftrightarrow si{n^2}A – 2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} + 1 = 0)

Tam giác ABC không tù nên(cos {A over 2} ge {{sqrt 2 } over 2}), suy ra(sqrt 2 le 2cos {A over 2}). Mặt khác,(cos {{B – C} over 2} > 0) nên ta có

(2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} le 4sin{A over 2}cos {A over 2}cos {{B – C} over 2})

Hay( – 2sqrt 2 sin{A over 2}cos {{B – C} over 2} ge – 2sin Acos {{B – C} over 2})

Vì vậy vế trái của (*)( ge si{n^2}A – 2sin Acos {{B – C} over 2} + 1)

( = {(sin A – cos {{B – C} over 2})^2} – {cos ^2}{{B – C} over 2} + 1)

( = {(sin A – cos {{B – C} over 2})^2} + {sin ^2}{{B – C} over 2} ge 0)

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (left{ matrix{
B – C = 0 hfill cr
sin A = cos {{B – C} over 2} hfill cr} right. Leftrightarrow left{ matrix{
B = C hfill cr
sin A = 1 hfill cr} right.)

( Leftrightarrow A = {pi over 2},B = C = {pi over 4})

Vậy ABC là tam giác vuông cân.

Video liên quan

Back to top button