Giải bài 3.5, 3.6, 3.7, 3.8 trang 118 sách bài tập (sbt) đại số và giải tích 11

(eqalign{ & {b^2} = u_1^2 + {left( {{u_1} + d} right)^2} + … + {left[ {{u_1} + left( {n – 1} right)d} right]^2} cr & {rm{ = }}nu_1^2 + 2{u_1}dleft[ {1 + 2 + … + left( {n – 1} right)} right] + {d^2}left[ {{1^2} + {2^2} + … + {{left( {n – 1} right)}^2}} right] cr & {rm{ = }}nu_1^2 + nleft( {n – 1} right){u_1}d + {{nleft( {n – 1} right)left( {2n – 1} right){d^2}} over 6},,,,,,,,(1){rm{ }} cr} )

Bài 3.5 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm cấp số cộng (left( {{u_n}} right))biết

a)

(left{ matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 hfill cr
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275 hfill cr} right.)

b)

(left{ matrix{
{u_1} + {u_2} + … + {u_n} = a hfill cr
u_1^2 + u_2^2 + … + u_n^2 = {b^2} hfill cr} right.)

Giải:

a) Ta có hệ

(left{ matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27,,,left( 1 right) hfill cr
u_1^2 + u_2^2 + u_3^2 = 275,,,left( 2 right) hfill cr} right.)

Áp dụng công thức ({u_1} + {u_3} = 2{u_2})suy ra({u_2} = 9,,,left( 3 right))

Thay ({u_2} = 9)vào (1) và (2) ta được

(left{ matrix{
{u_1} + {u_3} = 18 hfill cr
u_1^2 + u_3^2 = 194 hfill cr} right.)

Từ đây tìm được ({u_1} = 5,{u_3} = 13)hoặc ({u_1} = 13,{u_3} = 5)

Vậy ta có hai cấp số cộng 5, 9, 13 và 13, 9, 5

b) Ta có

(eqalign{
& {b^2} = u_1^2 + {left( {{u_1} + d} right)^2} + … + {left[ {{u_1} + left( {n – 1} right)d} right]^2} cr
& {rm{ = }}nu_1^2 + 2{u_1}dleft[ {1 + 2 + … + left( {n – 1} right)} right] + {d^2}left[ {{1^2} + {2^2} + … + {{left( {n – 1} right)}^2}} right] cr
& {rm{ = }}nu_1^2 + nleft( {n – 1} right){u_1}d + {{nleft( {n – 1} right)left( {2n – 1} right){d^2}} over 6},,,,,,,,(1){rm{ }} cr} )

Xem thêm:  What is Augur (REP)? Things to know about the latest REP coin 2020

Mặt khác, (a = n{u_1} + {{nleft( {n – 1} right)d} over 2},,,,,,left( 2 right))

Từ (2) tìm được ({u_1})thay ({u_1})vào (1) đểm tìmd.

Kết quả (d = pm sqrt {{{12left( {n{b^2} – {a^2}} right)} over {{n^2}left( {{n^2} – 1} right)}}} )

({u_1} = {1 over n}left[ {a – {{nleft( {n – 1} right)} over 2}d} right].)


Bài 3.6 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho ba góc (alpha ,beta ,gamma )tạo thành một cấp số cộng theo thứ tự đó với công sai (d = {pi over 3})

Chứng minh :

a) (tan alpha .tan beta + tan beta .tan gamma + tan gamma .tan alpha = – 3);

b) (4cos alpha .cos beta .cos gamma = cos 3beta )

Giải:

Từ cấp số cộng (alpha ,beta ,gamma )với công sai (d = {pi over 3})suy ra

(alpha = beta – {pi over 3};gamma = beta + {pi over 3})

Thay (alpha ,gamma )vào hệ thức và áp dụng công thức cộng cung.


Bài 3.7 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Cho cấp số cộng (left( {{u_n}} right))chứng minh rằng

Nếu ({{{S_m}} over {{S_n}}} = {{{m^2}} over {{n^2}}})

Thì ({{{u_m}} over {{u_n}}} = {{2m – 1} over {2n – 1}})

Giải:

Ta có ({S_m} = {{2{u_1} + left( {m – 1} right)d} over 2}m);

({S_n} = {{2{u_1} + left( {n – 1} right)d} over 2}n.)

Theo giả thiết

({{{S_m}} over {{S_n}}} = {{left[ {2{u_1} + left( {m – 1} right)d} right]m} over {left[ {2{u_1} + left( {n – 1} right)d} right]n}} = {{{m^2}} over {{n^2}}})

Suy ra (left( {2{u_1} – d} right)left( {m – n} right) = 0)(với m n).

Xem thêm:  Cảm Âm Way Back Home | Huy Vạc

Từ đó ({u_1} = {d over 2})

Vậy ({{{u_m}} over {{u_n}}} = {{{u_1} + left( {m – 1} right)d} over {{u_1} + left( {n – 1} right)d}} = {{{d over 2} + left( {m – 1} right)d} over {{d over 2} + left( {n – 1} right)d}} = {{2m – 1} over {2n – 1}})


Bài 3.8 trang 118 Sách bài tập (SBT) Đại số và giải tích 11

Tìm x từ phương trình

a)2 + 7 + 12 + … + x = 245, biết 2, 7, 12, …, xlà cấp số cộng.

b) (left( {2x + 1} right) + left( {2x + 6} right) + left( {2x + 11} right) + … + left( {2x + 96} right) = 1010)biết 1, 6, 11, …là cấp số cộng.

Giải:

a) Ta có

(eqalign{
& {u_1} = 2,d = 5,{S_n} = 245. cr
& 245 = {{nleft[ {2.2 + left( {n – 1} right)5} right]} over 2} cr
& Leftrightarrow 5{n^2} – n – 490 = 0. cr})

Giải ra được n = 10

Từ đó tìm được (x = u{ _{10}} = 2 + 9.5 = 47)

b) Xét cấp số cộng1, 6, 11, …, 96. Ta có

(96 = 1 + left( {n – 1} right)5 Rightarrow n = 20)

Suy ra ({S_{20}} = 1 + 6 + 11 + … + 96 = {{20left( {1 + 96} right)} over 2} = 970)

Và2x.20 + 970 = 1010

Từ đó x = 1

Video liên quan

Back to top button