Giải bài 21, 22, 23, 24 trang 23, 24 sách giáo khoa hình học 10 nâng cao

(eqalign{ & overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} } right) + left( {overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} } right) cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 2overrightarrow {MN} cr & overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} = left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} } right) + left( {overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} } right) cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) cr & ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 2overrightarrow {MN} cr} )

Bài 21 trang 23 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Bài 21. Cho tam giác vuông cân (OAB) với (OA = OB = a). Hãy dựng các vec tơ sau đây và tính độ dài của chúng

(eqalign{
& overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,;;;overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,3overrightarrow {OA} + 4overrightarrow {OB} ; cr
& {{21} over 4}overrightarrow {OA} + 2,5overrightarrow {OB} ;,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,{{11} over 4}overrightarrow {OA} – {3 over 7}overrightarrow {OB} . cr} )

Hướng dẫn trả lời

Vẽ hình vuông (OACB), ta có

(eqalign{
& overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} = overrightarrow {OC} , Rightarrow left| {overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} } right| = left| {overrightarrow {OC} } right| = asqrt 2 cr
& overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} = overrightarrow {BA} , Rightarrow left| {overrightarrow {OA} – overrightarrow {OB} } right| = left| {overrightarrow {BA} } right| = asqrt 2 cr} )

Gọi (M, N) là điểm thỏa mãn (overrightarrow {OM} = 3overrightarrow {OA} ,,overrightarrow {ON} = 4overrightarrow {OB} ).

Vẽ hình chữ nhật (MONP), ta có

(eqalign{
& overrightarrow {OM} + overrightarrow {ON} = overrightarrow {OP} , Rightarrow left| {overrightarrow {OM} + overrightarrow {ON} } right| = left| {overrightarrow {OP} } right| cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {O{M^2} + O{N^2}} cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = sqrt {9{a^2} + 16{a^2}} = 5a cr
& cr} )

Xem thêm:  HR Asia Award vinh danh Đất Xanh Miền Trung là Nơi làm việc hấp dẫn nhất Châu Á 2021

Tương tự, ta cũng có

(eqalign{
& left| {{{21} over 4}overrightarrow {OA} + 2,5overrightarrow {OB} } right| = sqrt {{{left( {{{21} over 4}a} right)}^2} + {{left( {{5 over 2}a} right)}^2}} = {{sqrt {541} } over 4}a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, cr} )

Gọi (I, J) là điểm thỏa mãn

(overrightarrow {OI} = {{11} over 4}overrightarrow {OA} ,,overrightarrow {OJ} = – {3 over 7}overrightarrow {OB} )

Vẽ hình chữ nhật (OIKJ), ta có

(eqalign{
& {{11} over 4}overrightarrow {OA} – {3 over 7}overrightarrow {OB} = overrightarrow {OK} = {{11} over 4}overrightarrow {OA} + left( { – {3 over 7}overrightarrow {OB} } right) = overrightarrow {OI} + overrightarrow {OJ} = overrightarrow {OK} cr
& Rightarrow ,left| {{{11} over 4}overrightarrow {OA} – {3 over 7}overrightarrow {OB} } right| = left| {overrightarrow {OK} } right| = sqrt {{{left( {{{11} over 4}a} right)}^2} + {{left( { – {3 over 7}a} right)}^2}} = {{sqrt {6073} } over {28}}a cr} )


Bài 22 trang 23 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Bài 22. Cho tam giác (OAB). Gọi (M, N) lần lượt là trung điểm hai cạnh (OA) và (OB). Hãy tìm các số (m) và (n) thích hợp trong mỗi đẳng thức sau đây

(eqalign{
& overrightarrow {OM} = moverrightarrow {OA} + noverrightarrow {OB} ;,,,,,,overrightarrow {MN} = moverrightarrow {OA} + noverrightarrow {OB} ; cr
& overrightarrow {AN} = moverrightarrow {OA} + noverrightarrow {OB} ;,,,,,,,,overrightarrow {MB} = moverrightarrow {OA} + noverrightarrow {OB} . cr} )

Hướng dẫn trả lời

Ta có

(eqalign{
& overrightarrow {OM} = {1 over 2}overrightarrow {OA} = {1 over 2}overrightarrow {OA} + 0.overrightarrow {OB} ,,,,, Rightarrow ,m = {1 over 2},,n = 0. cr
& overrightarrow {MN} = overrightarrow {ON} – overrightarrow {OM} = {1 over 2}overrightarrow {OB} – {1 over 2}overrightarrow {OA} = left( { – {1 over 2}} right)overrightarrow {OA} + {1 over 2}overrightarrow {OB} ,,,,, Rightarrow ,m = – {1 over 2},,n = {1 over 2}. cr
& overrightarrow {AN} = overrightarrow {ON} – overrightarrow {OA} = {1 over 2}overrightarrow {OB} – overrightarrow {OA} = left( { – 1} right)overrightarrow {OA} + {1 over 2}overrightarrow {OB} ,,,, Rightarrow ,m = – 1,,n = {1 over 2}. cr
& overrightarrow {MB} = overrightarrow {OB} – overrightarrow {OM} = overrightarrow {OB} – {1 over 2}overrightarrow {OA} = left( { – {1 over 2}} right)overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} ,,,, Rightarrow ,m = – {1 over 2},,n = 1. cr} )

Xem thêm:  2 Cách làm thịt chiên xù ngon giòn, vàng ươm, không ngấy mỡ

Bài 23 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Bài 30. Gọi (M) và (N) lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng (AB) và (CD). Chứng minh rằng

(2overrightarrow {MN} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} .)

Hướng dẫn trả lời

Theo quy tắc ba điểm, ta có

(eqalign{
& overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} } right) + left( {overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} } right) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 2overrightarrow {MN} cr
& overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} = left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {ND} } right) + left( {overrightarrow {BM} + overrightarrow {MN} + overrightarrow {NC} } right) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + left( {overrightarrow {AM} + overrightarrow {BM} } right) + left( {overrightarrow {NC} + overrightarrow {ND} } right) cr
& ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, = 2overrightarrow {MN} + overrightarrow 0 + overrightarrow 0 = 2overrightarrow {MN} cr} )

Vậy (2overrightarrow {MN} = overrightarrow {AC} + overrightarrow {BD} = overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} .)

Bài 24 trang 24 Sách giáo khoa (SGK) Hình học 10 Nâng cao

Bài 24. Cho tam giác (ABC) và điểm (G). Chứng minh rằng

a) Nếu (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 )thì (G) là trọng tâm tam giác (ABC);

b) Nếu có điểm (O) sao cho (overrightarrow {OG} = {1 over 3}left( {overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} } right))thì (G) là trọng tâm tam giác (ABC).

Hướng dẫn trả lời

a) Gọi ({G_1}) là trọng tâm tam giác (ABC). Từ đó, ta có (overrightarrow {{G_1}A} + overrightarrow {{G_1}B} + overrightarrow {{G_1}C} = overrightarrow 0 .)

Xem thêm:  Ngành kỹ sư môi trường

Theo giả thiết, (overrightarrow {GA} + overrightarrow {GB} + overrightarrow {GC} = overrightarrow 0 )

(eqalign{
& Rightarrow ,overrightarrow {G{G_1}} + overrightarrow {{G_1}A} + overrightarrow {G{G_1}} + overrightarrow {{G_1}B} + overrightarrow {G{G_1}} + overrightarrow {{G_1}C} = overrightarrow 0 cr
& Rightarrow ,,3overrightarrow {G{G_1}} + left( {overrightarrow {{G_1}A} + overrightarrow {{G_1}B} + overrightarrow {{G_1}C} } right) = overrightarrow {0,} ,,,,, Rightarrow ,,3overrightarrow {G{G_1}} = overrightarrow 0 ,,,,,,, Rightarrow ,,overrightarrow {G{G_1}} = overrightarrow 0 ,,,, Rightarrow ,G equiv {G_1} cr} )

b) Gọi ( {G_1})là trọng tâm tam giác (ABC). Từ đó, ta có (overrightarrow {{G_1}A} + overrightarrow {{G_1}B} + overrightarrow {{G_1}C} = overrightarrow 0 .)

(eqalign{
& overrightarrow {OG} = {1 over 3}left( {overrightarrow {OA} + overrightarrow {OB} + overrightarrow {OC} } right) cr
& = {1 over 3}left( {3overrightarrow {O{G_1}} + overrightarrow {{G_1}A} + overrightarrow {{G_1}B} + overrightarrow {{G_1}C} } right) = overrightarrow {O{G_1}} ,,,,, Rightarrow ,G equiv {G_1} cr} )

Video liên quan

Back to top button