Đề bài – câu 3.2 trang 85 sách bài tập đại số và giải tích 11 nâng cao
(eqalign{& 1 + cos x + cos 2x + … + cos kx + cos (k + 1)x cr&= {{sin {{left( {1 + 1} right)x} over 2}cos {{kx} over 2}} over {sin {x over 2}}} + cos (k + 1)x cr& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}cos {{kx} over 2} + cos (k + 1)x.sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr& cr& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}cos {{kx} over 2} – 2{{sin }^2}{{(k + 1)x} over 2}.sin {x over 2} + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}left( {cos {{kx} over 2} – 2sin {{(k + 1)x} over 2}.sin {x over 2}} right) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}left( {cos {{kx} over 2} + cos {{(k + 2)x} over 2} – cos {{kx} over 2}} right) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr& = {{{1 over 2}left( {sin {{left( {2k + 3} right)x} over 2} – sin {x over 2}} right) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr& = {{sin {{left( {k + 2} right)x} over 2}cos {{(k + 1)x} over 2}} over {sin {x over 2}}} cr} )
Đề bài
Cho số thực(x ne k2pi .)Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta luôn có
(1 + cos x + cos 2x + … + cos nx = {{sin {{left( {n + 1} right)x} over 2}cos {{nx} over 2}} over {sin {x over 2}}})
Lời giải chi tiết
Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh
(1 + cos x + cos 2x + … + cos nx = {{sin {{left( {n + 1} right)x} over 2}cos {{nx} over 2}} over {sin {x over 2}}}) (1) với mọi (n in N^*.)
Với (n = 1,) vì (x ne k2pi ) (theo giả thiết) nên
(1 + cos x = 2{cos ^2}{x over 2} = {{sin {{left( {1 + 1} right)x} over 2}cos {{1.x} over 2}} over {sin {x over 2}}}) (2)
Như vậy (1) đúng khi (n = 1)
Giả sử đã có (1) đúng khi (n = k,k in N^*.) Khi đó , ta có
(eqalign{
& 1 + cos x + cos 2x + … + cos kx + cos (k + 1)x cr&= {{sin {{left( {1 + 1} right)x} over 2}cos {{kx} over 2}} over {sin {x over 2}}} + cos (k + 1)x cr
& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}cos {{kx} over 2} + cos (k + 1)x.sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& cr
& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}cos {{kx} over 2} – 2{{sin }^2}{{(k + 1)x} over 2}.sin {x over 2} + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}left( {cos {{kx} over 2} – 2sin {{(k + 1)x} over 2}.sin {x over 2}} right) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{sin {{left( {k + 1} right)x} over 2}left( {cos {{kx} over 2} + cos {{(k + 2)x} over 2} – cos {{kx} over 2}} right) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{{1 over 2}left( {sin {{left( {2k + 3} right)x} over 2} – sin {x over 2}} right) + sin {x over 2}} over {sin {x over 2}}} cr
& = {{sin {{left( {k + 2} right)x} over 2}cos {{(k + 1)x} over 2}} over {sin {x over 2}}} cr} )
Nghĩa là ta cũng có (1) đúng khi (n = k + 1).
Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi (n in N^*.)
Video liên quan
