Đề bài – bài 8 trang 98 sgk hình học 11

(begin{array}{l}overrightarrow {MN} .overrightarrow {CD} = dfrac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} } right).left( {overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} } right) = dfrac{1}{2}left( {{{overrightarrow {AD} }^2} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD} – {{overrightarrow {AC} }^2} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right) = dfrac{1}{2}left( {A{D^2} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – A{C^2} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right) = dfrac{1}{2}left( {A{D^2} – AB.ACcos widehat {BAD} – A{C^2} + AB.AC.cos widehat {BAC}} right) = dfrac{1}{2}left( {A{B^2} – A{B^2}cos {{60}^0} – A{B^2} + A{B^2}cos {{60}^0}} right) = dfrac{1}{2}.0 = 0 Rightarrow MN bot CDend{array})

Đề bài

Cho tứ diện (ABCD) có (AB = AC = AD) và(widehat{BAC}=widehat{BAD}=60^{0}.)Chứng minh rằng:

a) (AB CD);

b) Nếu (M, N) lần lượt là trung điểm của (AB) và (CD) thì (MN AB) và (MN CD).

Video hướng dẫn giải

Lời giải chi tiết

a)(overrightarrow{AB}.overrightarrow{CD}=overrightarrow{AB}(overrightarrow{AD}-overrightarrow{AC}))

(=overrightarrow{AB}.overrightarrow{AD}-overrightarrow{AB}.overrightarrow{AC})

(=AB.AD.coswidehat{BAD}-AB.AC.coswidehat{BAC} =0)

(Rightarrow AB CD).

b)(overrightarrow{MN}=overrightarrow{MA}+overrightarrow{AD}+overrightarrow{DN},) (1)

(overrightarrow{MN}=overrightarrow{MB}+overrightarrow{BC}+overrightarrow{CN}.) (2)

Cộng (1) với (2) theo vế với vế ta được:

(begin{array}{l}
2overrightarrow {MN}
= left( {overrightarrow {MA} + overrightarrow {MB} } right) + left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right) + left( {overrightarrow {DN} + overrightarrow {CN} } right)
= overrightarrow 0 + left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right) + overrightarrow 0
= overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC}
Rightarrow overrightarrow {MN} = dfrac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {BC} } right)
= dfrac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} } right)
end{array})

Ta có(overrightarrow{AB}.overrightarrow{MN}={1 over 2}overrightarrow {AB} .(overrightarrow {AD} + overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} ))

(= {1 over 2}(overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} – A{B^2}))

(= {1 over 2}(AB.AD.coswidehat{BAD}+AB.AC.coswidehat{BAC}-AB^2))

(={1 over 2}(AB.AD.cos60^0+AB.AC.cos60^0-AB^2))

(={1 over 2}left({1 over 2}AB^2+{1 over 2}AB^2-AB^2right)=0) (Rightarrow AB MN).

(begin{array}{l}
overrightarrow {MN} .overrightarrow {CD}
= dfrac{1}{2}left( {overrightarrow {AD} + overrightarrow {AC} – overrightarrow {AB} } right).left( {overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} } right)
= dfrac{1}{2}left( {{{overrightarrow {AD} }^2} + overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – overrightarrow {AC} .overrightarrow {AD} – {{overrightarrow {AC} }^2} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)
= dfrac{1}{2}left( {A{D^2} – overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} – A{C^2} + overrightarrow {AB} .overrightarrow {AC} } right)
= dfrac{1}{2}left( {A{D^2} – AB.ACcos widehat {BAD} – A{C^2} + AB.AC.cos widehat {BAC}} right)
= dfrac{1}{2}left( {A{B^2} – A{B^2}cos {{60}^0} – A{B^2} + A{B^2}cos {{60}^0}} right)
= dfrac{1}{2}.0 = 0
Rightarrow MN bot CD
end{array})

Xem thêm:  Trường Nguyễn Trãi lấy báo nhiều điểm

Video liên quan

Back to top button