Đề bài – bài 52 trang 135 sgk đại số 10 nâng cao

(begin{array}{l}fleft( x right) = a{x^2} + bx + c= aleft( {{x^2} + frac{b}{a}x + frac{c}{a}} right) = aleft( {{x^2} + 2.frac{b}{{2a}}.x + frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + frac{c}{a} – frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} right) = aleft[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{{{b^2} – 4ac}}{{4{a^2}}}} right] = aleft[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{Delta }{{4{a^2}}}} right] Rightarrow afleft( x right) = {a^2}left[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{Delta }{{4{a^2}}}} right]end{array})

Đề bài

Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.

Phương pháp giải – Xem chi tiết

Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:

(f(x) = a{rm{[(x}},{rm{ + }}{b over {2a}}{)^2} – {Delta over {4{a^2}}}{rm{]}})

Hay (af(x) = {a^2}[{(x + {b over {2a}})^2} – {Delta over {4{a^2}}}])

Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:

f(x) = a(x x1)(x x2) hay af(x) = a2(x x1)(x x2)

trong đó, x1và x2là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x).

Lời giải chi tiết

Ta có:

(begin{array}{l}
fleft( x right) = a{x^2} + bx + c= aleft( {{x^2} + frac{b}{a}x + frac{c}{a}} right)
= aleft( {{x^2} + 2.frac{b}{{2a}}.x + frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + frac{c}{a} – frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} right)
= aleft[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{{{b^2} – 4ac}}{{4{a^2}}}} right]= aleft[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{Delta }{{4{a^2}}}} right]Rightarrow afleft( x right) = {a^2}left[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{Delta }{{4{a^2}}}} right]end{array})

+ Nếu Δ < 0 thì (- frac{Delta }{{4{a^2}}} > 0 ) (Rightarrow {a^2}left[ {{{left( {x + frac{b}{{2a}}} right)}^2} – frac{Delta }{{4{a^2}}}} right] > 0 ) (Rightarrow afleft( x right) > 0)với mọi x R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x R

+ Nếu Δ = 0 thì (af(x) = {a^2}{(x + {b over {2a}})^{^2}})khi đó af(x) > 0 với mọi (x ne – {b over {2a}}).

+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1và x2và:

Xem thêm:  Mẫu giấy xác nhận thử việc

f(x) = a(x x1)(x x2)

Do đó: af(x) = a2(x x1)(x x2)

Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x x1)(x x2).

Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1< x2)

Do đó: af(x) < 0 với mọi x (x1, x2)

Và af(x) > 0 với mọi x < x1hoặc x > x2

Video liên quan

Back to top button